Corrige detaille - Exercice 1

1) Resolution de \(z^4 + 4iz^2 + 12 = 0\)

On pose \(Z = z^2\). L'equation devient :

$$Z^2 + 4iZ + 12 = 0$$

Discriminant :

$$\Delta = (4i)^2 - 4 \times 12 = -16 - 48 = -64$$

\(\Delta = -64 = (8i)^2\), donc \(\sqrt{\Delta} = 8i\).

$$Z = \frac{-4i \pm 8i}{2}$$ $$Z_1 = \frac{-4i + 8i}{2} = 2i, \quad Z_2 = \frac{-4i - 8i}{2} = -6i$$

Pour \(Z_1 = 2i\) : \(z^2 = 2i\).

\(2i = 2e^{i\pi/2}\), donc \(z = \sqrt{2}e^{i\pi/4}\) ou \(z = \sqrt{2}e^{i(pi/4+\pi)} = \sqrt{2}e^{i5\pi/4}\).

$$z = \pm\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) = \pm(1+i)$$

Pour \(Z_2 = -6i\) : \(z^2 = -6i\).

\(-6i = 6e^{-i\pi/2}\), donc \(z = \sqrt{6}e^{-i\pi/4}\) ou \(z = \sqrt{6}e^{i3\pi/4}\).

$$z = \pm\sqrt{6}\left(\cos\frac{\pi}{4} - i\sin\frac{\pi}{4}\right) = \pm\left(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)$$

Plus simplement : cherchons \(z = a+bi\) tel que \((a+bi)^2 = -6i\).

$$a^2 - b^2 = 0 \quad \text{et} \quad 2ab = -6$$

Donc \(a = \pm b\) et \(2ab = -6\), d'ou \(ab = -3\).

Si \(a = b\) : \(a^2 = -3\), impossible.

Si \(a = -b\) : \(-a^2 = -3\), donc \(a = \sqrt{3}\), \(b = -\sqrt{3}\), ou \(a = -\sqrt{3}\), \(b = \sqrt{3}\).

$$z = \pm(\sqrt{3} - i\sqrt{3})$$

2) Similitude directe de centre O

a) Ecriture complexe :

Une similitude directe de centre \(O\) a pour ecriture \(s(z) = az\) (pas de terme constant car le centre est l'origine).

$$s(z_A) = z_B \Rightarrow a \cdot z_A = z_B \Rightarrow a = \frac{z_B}{z_A}$$ $$a = \frac{\sqrt{3} - i\sqrt{3}}{1 + i} = \frac{\sqrt{3}(1-i)}{1+i} = \frac{\sqrt{3}(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{\sqrt{3}(1-i)^2}{2}$$ $$(1-i)^2 = 1 - 2i + i^2 = -2i$$ $$a = \frac{\sqrt{3}(-2i)}{2} = -i\sqrt{3}$$ $$\boxed{s(z) = -i\sqrt{3}\,z}$$

b) Rapport et argument :

$$|a| = |-i\sqrt{3}| = \sqrt{3}$$ $$\arg(a) = \arg(-i\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{2}$$ $$\boxed{\text{Rapport } k = \sqrt{3}, \quad \text{Angle } \theta = -\frac{\pi}{2}}$$

Verification : \(s(1+i) = -i\sqrt{3}(1+i) = -i\sqrt{3} - i^2\sqrt{3} = \sqrt{3} - i\sqrt{3}\). Correct !

Corrige detaille - Exercice 2

Donnees : 4 roses, 3 vertes, 2 jaunes, total = 9 boules. On tire 3 boules simultanement. \(X\) = nombre de boules roses.

Le nombre total de tirages possibles est :

$$\binom{9}{3} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{6} = 84$$

\(X\) peut prendre les valeurs 0, 1, 2 ou 3.

1) Loi de probabilite de \(X\)

\(P(X = 0)\) : aucune boule rose, les 3 boules sont parmi les 5 non-roses.

$$P(X=0) = \frac{\binom{4}{0}\binom{5}{3}}{\binom{9}{3}} = \frac{1 \times 10}{84} = \frac{10}{84} = \frac{5}{42}$$

\(P(X = 1)\) : 1 rose parmi 4 et 2 non-roses parmi 5.

$$P(X=1) = \frac{\binom{4}{1}\binom{5}{2}}{\binom{9}{3}} = \frac{4 \times 10}{84} = \frac{40}{84} = \frac{20}{42} = \frac{10}{21}$$

\(P(X = 2)\) : 2 roses parmi 4 et 1 non-rose parmi 5.

$$P(X=2) = \frac{\binom{4}{2}\binom{5}{1}}{\binom{9}{3}} = \frac{6 \times 5}{84} = \frac{30}{84} = \frac{5}{14}$$

\(P(X = 3)\) : 3 roses parmi 4.

$$P(X=3) = \frac{\binom{4}{3}\binom{5}{0}}{\binom{9}{3}} = \frac{4 \times 1}{84} = \frac{4}{84} = \frac{1}{21}$$

Verification : \(\frac{10}{84} + \frac{40}{84} + \frac{30}{84} + \frac{4}{84} = \frac{84}{84} = 1\). Correct !

\(x_i\)	0	1	2	3
\(P(X=x_i)\)	\(\frac{5}{42}\)	\(\frac{10}{21}\)	\(\frac{5}{14}\)	\(\frac{1}{21}\)

2) Esperance

$$E(X) = 0 \times \frac{10}{84} + 1 \times \frac{40}{84} + 2 \times \frac{30}{84} + 3 \times \frac{4}{84}$$ $$= \frac{0 + 40 + 60 + 12}{84} = \frac{112}{84} = \frac{4}{3}$$ $$\boxed{E(X) = \frac{4}{3} \approx 1{,}333}$$

On peut verifier : dans un tirage hypergeometrique, \(E(X) = n \cdot \frac{K}{N} = 3 \times \frac{4}{9} = \frac{4}{3}\). Correct !

3) Variance et ecart-type

Utilisons la formule \(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\).

$$E(X^2) = 0^2 \times \frac{10}{84} + 1^2 \times \frac{40}{84} + 2^2 \times \frac{30}{84} + 3^2 \times \frac{4}{84}$$ $$= \frac{0 + 40 + 120 + 36}{84} = \frac{196}{84} = \frac{7}{3}$$ $$V(X) = \frac{7}{3} - \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{7}{3} - \frac{16}{9} = \frac{21}{9} - \frac{16}{9} = \frac{5}{9}$$ $$\boxed{V(X) = \frac{5}{9} \approx 0{,}556}$$ $$\boxed{\sigma(X) = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \approx 0{,}745}$$

Verification avec la formule hypergeometrique : \(V(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \frac{N-K}{N} \cdot \frac{N-n}{N-1} = 3 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{6}{8} = 3 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{5}{9}\). Correct !

Corrige detaille - Probleme

Partie A

1) Verification que \(g(x) = x^2 e^{x+1}\) est solution

Calculons \(g'\) et \(g''\). Notons que \(e^{x+1} = e \cdot e^x\), donc \((e^{x+1})' = e^{x+1}\).

$$g(x) = x^2 e^{x+1}$$ $$g'(x) = 2xe^{x+1} + x^2 e^{x+1} = (2x + x^2)e^{x+1} = x(x+2)e^{x+1}$$ $$g''(x) = (2+2x)e^{x+1} + (2x+x^2)e^{x+1} = (x^2+4x+2)e^{x+1}$$

Substituons dans \(y'' - 2y' + y\) :

$$g'' - 2g' + g = [(x^2+4x+2) - 2(2x+x^2) + x^2]e^{x+1}$$ $$= [x^2+4x+2-4x-2x^2+x^2]e^{x+1} = 2e^{x+1}$$ $$\boxed{g'' - 2g' + g = 2e^{x+1} \checkmark}$$

2) Equation homogene

Equation caracteristique : \(r^2 - 2r + 1 = 0 \Rightarrow (r-1)^2 = 0 \Rightarrow r = 1\) (racine double).

$$\boxed{y_h(x) = (C_1 + C_2 x)e^x, \quad C_1, C_2 \in \mathbb{R}}$$

3) Solution generale

$$\boxed{y(x) = (C_1 + C_2 x)e^x + x^2 e^{x+1}}$$

Partie B

1) Limites

\(f(x) = x^2 - 2x + 1)e^{x+1} = (x-1)^2 e^{x+1}\) car \(x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2\).

Notons que \(f(x) \geq 0\) pour tout \(x\) (carre fois exponentielle).

En \(-\infty\) : \((x-1)^2 \to +\infty\) et \(e^{x+1} \to 0\). Par croissance comparee :

$$\lim_{x \to -\infty} (x-1)^2 e^{x+1} = 0^+$$

En \(+\infty\) : \((x-1)^2 \to +\infty\) et \(e^{x+1} \to +\infty\).

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$

2) Derivee et variations

$$f'(x) = 2(x-1)e^{x+1} + (x-1)^2 e^{x+1} = (x-1)[2 + (x-1)]e^{x+1} = (x-1)(x+1)e^{x+1}$$

Donc \(f'(x) = (x^2-1)e^{x+1}\).

Signe de \(f'(x)\) : \(e^{x+1} > 0\) toujours, et \(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\) :

• \(f'(x) > 0\) si \(x < -1\) (croissante)
• \(f'(-1) = 0\)
• \(f'(x) < 0\) si \(-1 < x < 1\) (decroissante)
• \(f'(1) = 0\)
• \(f'(x) > 0\) si \(x > 1\) (croissante)

Maximum local en \(x = -1\) : \(f(-1) = (-2)^2 e^0 = 4\).

Minimum local en \(x = 1\) : \(f(1) = 0\).

3) Primitive \(F(x) = (ax^2 + bx + c)e^{x+1}\)

On cherche \(a\), \(b\), \(c\) tels que \(F'(x) = f(x) = (x^2-2x+1)e^{x+1}\).

$$F'(x) = (2ax+b)e^{x+1} + (ax^2+bx+c)e^{x+1} = (ax^2 + (2a+b)x + b+c)e^{x+1}$$

Identification avec \((x^2 - 2x + 1)e^{x+1}\) :

• Coefficient de \(x^2\) : \(a = 1\)
• Coefficient de \(x\) : \(2a + b = -2\), donc \(2 + b = -2\), soit \(b = -4\)
• Terme constant : \(b + c = 1\), donc \(-4 + c = 1\), soit \(c = 5\)

$$\boxed{F(x) = (x^2 - 4x + 5)e^{x+1}}$$

Verification : \(F'(x) = (2x-4)e^{x+1} + (x^2-4x+5)e^{x+1} = (x^2-2x+1)e^{x+1} = f(x)\). Correct !

4) Aire

Sur \([0,1]\), \(f(x) = (x-1)^2 e^{x+1} \geq 0\), donc l'aire est simplement l'integrale.

$$\mathcal{A} = \int_0^1 f(x)\,dx = [F(x)]_0^1 = F(1) - F(0)$$ $$F(1) = (1 - 4 + 5)e^2 = 2e^2$$ $$F(0) = (0 - 0 + 5)e^1 = 5e$$ $$\boxed{\mathcal{A} = 2e^2 - 5e \approx 2 \times 7{,}389 - 5 \times 2{,}718 \approx 14{,}778 - 13{,}591 \approx 1{,}187 \text{ u.a.}}$$

Partie C : Bijection

1) Bijection sur \(]-\infty, 1]\)

Sur \(]-\infty, -1]\), \(f\) est croissante de \(0^+\) a \(4\). Sur \([-1, 1]\), \(f\) est decroissante de \(4\) a \(0\). Donc sur \(]-\infty, 1]\), \(f\) n'est pas monotone.

Cependant, regardons mieux. Sur \(]-\infty, 1]\) :

• \(f\) croit de \(0\) a \(4\) sur \(]-\infty, -1]\)
• \(f\) decroit de \(4\) a \(0\) sur \([-1, 1]\)

En fait, pour la bijection, il faut restreindre a un intervalle ou \(f\) est monotone. Considerons \(f\) sur \([-1, 1]\) ou elle est decroissante, ou sur \([1, +\infty[\) ou elle est croissante.

Sur \([1, +\infty[\), \(f\) est continue, strictement croissante, avec \(f(1) = 0\) et \(\lim_{+\infty} f = +\infty\).

Et sur \(]-\infty, -1]\), \(f\) est continue, strictement croissante, avec \(\lim_{-\infty} f = 0\) et \(f(-1) = 4\), donc \(f\) realise une bijection de \(]-\infty, -1]\) sur \(]0, 4]\).

2) \(f^{-1}(0)\) et \((f^{-1})'(0)\)

Sur \([1, +\infty[\) : \(f(x) = 0 \Leftrightarrow (x-1)^2 e^{x+1} = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

$$\boxed{f^{-1}(0) = 1}$$

Pour la derivee de la bijection reciproque :

$$(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$$

En \(y = 0\) : \(f^{-1}(0) = 1\), et \(f'(1) = (1-1)(1+1)e^2 = 0\).

Attention : \(f'(1) = 0\), donc \(f^{-1}\) n'est pas derivable en 0. La tangente a la courbe de \(f^{-1}\) en ce point est verticale.

$$\boxed{f^{-1} \text{ n'est pas derivable en } 0}$$