BAC — 2020 Serie A

Maths BAC 2020 Serie A

REPUBLIQUE DU NIGER

Ministere des Enseignements Secondaires

Office du Baccalaureat du Niger (OBN)

BACCALAUREAT - Session 2020

Epreuve de MATHEMATIQUES - Serie A4, A8

Coefficient : 2 Duree : 3 heures Session 2020
Source : Office du Baccalaureat du Niger (OBEECS) - Session 2020
Exercice 1 (5 points)
    1. Developper \((x^3 - 1)(x^2 - 5x + 6)\).
    2. En deduire que l'ensemble des solutions reelles de l'equation \(x^5 - 5x^4 + 6x^3 - x^2 + 5x - 6 = 0\) est \(S_{\mathbb{R}} = \{1, 2, 3\}\).
  2. Utiliser le resultat precedent pour resoudre dans \(\mathbb{R}\) :
    1. \(\ln^5(x) - 5\ln^4(x) + 6\ln^3(x) - \ln^2(x) + 5\ln(x) - 6 = 0\)
    2. \(e^{5x} - 5e^{4x} + 6e^{3x} - e^{2x} + 5e^x - 6 = 0\)

Correction detaillee - Exercice 1

1a) Developpement de \((x^3 - 1)(x^2 - 5x + 6)\)

On developpe terme a terme :

$$ (x^3 - 1)(x^2 - 5x + 6) = x^3 \cdot x^2 - x^3 \cdot 5x + x^3 \cdot 6 - 1 \cdot x^2 + 1 \cdot 5x - 1 \cdot 6 $$ $$ = x^5 - 5x^4 + 6x^3 - x^2 + 5x - 6 $$
$$ \boxed{(x^3 - 1)(x^2 - 5x + 6) = x^5 - 5x^4 + 6x^3 - x^2 + 5x - 6} $$
1b) Resolution de \(x^5 - 5x^4 + 6x^3 - x^2 + 5x - 6 = 0\)

D'apres 1a), l'equation s'ecrit :

$$ (x^3 - 1)(x^2 - 5x + 6) = 0 $$

Premier facteur : \(x^3 - 1 = 0 \Leftrightarrow x^3 = 1 \Leftrightarrow x = 1\) (dans \(\mathbb{R}\)).

Second facteur : \(x^2 - 5x + 6 = 0\).

Discriminant : \(\Delta = 25 - 24 = 1 > 0\).

$$ x = \frac{5 \pm 1}{2} $$

Donc \(x_1 = \frac{5+1}{2} = 3\) et \(x_2 = \frac{5-1}{2} = 2\).

$$ \boxed{S_{\mathbb{R}} = \{1, 2, 3\}} $$
2a) Resolution de \(\ln^5(x) - 5\ln^4(x) + 6\ln^3(x) - \ln^2(x) + 5\ln(x) - 6 = 0\)

Condition d'existence : \(x > 0\).

On pose \(X = \ln(x)\). L'equation devient :

$$ X^5 - 5X^4 + 6X^3 - X^2 + 5X - 6 = 0 $$

D'apres la question 1, les solutions sont \(X \in \{1, 2, 3\}\).

  • \(\ln(x) = 1 \Leftrightarrow x = e\)
  • \(\ln(x) = 2 \Leftrightarrow x = e^2\)
  • \(\ln(x) = 3 \Leftrightarrow x = e^3\)

Toutes ces valeurs sont bien strictement positives.

$$ \boxed{S = \{e, \, e^2, \, e^3\}} $$
2b) Resolution de \(e^{5x} - 5e^{4x} + 6e^{3x} - e^{2x} + 5e^x - 6 = 0\)

On pose \(X = e^x\). Comme \(e^{kx} = (e^x)^k = X^k\), l'equation devient :

$$ X^5 - 5X^4 + 6X^3 - X^2 + 5X - 6 = 0 $$

Les solutions sont \(X \in \{1, 2, 3\}\).

  • \(e^x = 1 \Leftrightarrow x = 0\)
  • \(e^x = 2 \Leftrightarrow x = \ln(2)\)
  • \(e^x = 3 \Leftrightarrow x = \ln(3)\)
$$ \boxed{S = \{0, \, \ln 2, \, \ln 3\}} $$
Exercice 2 (5 points)

Un sac contient 9 boules numerotees de 1 a 9. On effectue un tirage successif sans remise de 2 boules.

  1. Quel est le nombre de resultats possibles ?
  2. Calculer la probabilite de chacun des evenements suivants :
    1. Obtenir 2 boules portant un numero pair.
    2. Obtenir 2 boules portant un numero impair.
    3. Obtenir une boule paire et une boule impaire.
    4. Obtenir 2 boules portant un numero multiple de 3.

Correction detaillee - Exercice 2

Donnees du probleme

Boules numerotees de 1 a 9 :

  • Paires : {2, 4, 6, 8} soit 4 boules
  • Impaires : {1, 3, 5, 7, 9} soit 5 boules
  • Multiples de 3 : {3, 6, 9} soit 3 boules

Tirage successif sans remise de 2 boules : l'ordre compte (arrangements).

1) Nombre de resultats possibles

C'est un arrangement de 2 elements parmi 9 :

$$ A_9^2 = 9 \times 8 = 72 $$
$$ \boxed{72 \text{ resultats possibles}} $$
2a) Probabilite d'obtenir 2 boules paires

Nombre de tirages favorables : \(A_4^2 = 4 \times 3 = 12\).

$$ P(\text{2 paires}) = \frac{12}{72} = \frac{1}{6} $$
$$ \boxed{P(\text{2 paires}) = \frac{1}{6}} $$
2b) Probabilite d'obtenir 2 boules impaires

Nombre de tirages favorables : \(A_5^2 = 5 \times 4 = 20\).

$$ P(\text{2 impaires}) = \frac{20}{72} = \frac{5}{18} $$
$$ \boxed{P(\text{2 impaires}) = \frac{5}{18}} $$
2c) Probabilite d'obtenir 1 paire et 1 impaire

Deux cas : (paire puis impaire) ou (impaire puis paire).

Nombre de tirages favorables : \(4 \times 5 + 5 \times 4 = 20 + 20 = 40\).

$$ P(\text{1 paire + 1 impaire}) = \frac{40}{72} = \frac{5}{9} $$

Verification : \(\frac{1}{6} + \frac{5}{18} + \frac{5}{9} = \frac{3}{18} + \frac{5}{18} + \frac{10}{18} = \frac{18}{18} = 1\). Correct !

$$ \boxed{P(\text{1 paire + 1 impaire}) = \frac{5}{9}} $$
2d) Probabilite d'obtenir 2 multiples de 3

Multiples de 3 parmi {1,...,9} : {3, 6, 9}, soit 3 boules.

Nombre de tirages favorables : \(A_3^2 = 3 \times 2 = 6\).

$$ P(\text{2 multiples de 3}) = \frac{6}{72} = \frac{1}{12} $$
$$ \boxed{P(\text{2 multiples de 3}) = \frac{1}{12}} $$
Probleme (10 points)

On considere la fonction \(G\) definie par \(G(t) = 3(1{,}7)^t\).

  1. Calculer \(G(0)\).
  2. Montrer que \(G(t) = 3e^{t \cdot \ln(1{,}7)}\).
  3. Montrer que le taux d'accroissement \(\tau = \frac{G(t+1) - G(t)}{G(t)}\) est constant et le calculer.
  4. Exprimer \(\ln G(t)\) en fonction de \(t\).
  5. Justifier que \(\ln(\tau + 1) = \ln\left(\frac{G(t+1)}{G(t)}\right)\).
  6. Determiner le coefficient directeur de la droite representative de \(\ln G(t)\) en fonction de \(t\).

Correction detaillee - Probleme

1) Calcul de \(G(0)\)
$$ G(0) = 3 \times (1{,}7)^0 = 3 \times 1 = 3 $$
$$ \boxed{G(0) = 3} $$
2) Montrer que \(G(t) = 3e^{t\ln(1{,}7)}\)

On sait que pour tout reel \(a > 0\), on a \(a = e^{\ln a}\).

Donc \(1{,}7 = e^{\ln(1{,}7)}\), et par suite :

$$ (1{,}7)^t = \left(e^{\ln(1{,}7)}\right)^t = e^{t \cdot \ln(1{,}7)} $$ $$ G(t) = 3 \times (1{,}7)^t = 3e^{t \cdot \ln(1{,}7)} $$
$$ \boxed{G(t) = 3e^{t\ln(1{,}7)}} $$
3) Taux d'accroissement constant

Calculons \(\tau\) :

$$ \tau = \frac{G(t+1) - G(t)}{G(t)} = \frac{G(t+1)}{G(t)} - 1 $$

Or :

$$ \frac{G(t+1)}{G(t)} = \frac{3(1{,}7)^{t+1}}{3(1{,}7)^t} = (1{,}7)^{t+1-t} = 1{,}7 $$

Donc :

$$ \tau = 1{,}7 - 1 = 0{,}7 $$

\(\tau\) ne depend pas de \(t\) : il est bien constant.

$$ \boxed{\tau = 0{,}7 = 70\%} $$

Le taux d'accroissement est de 70%, ce qui signifie que \(G\) augmente de 70% a chaque unite de temps.

4) Expression de \(\ln G(t)\)
$$ \ln G(t) = \ln\left(3e^{t\ln(1{,}7)}\right) = \ln 3 + \ln\left(e^{t\ln(1{,}7)}\right) = \ln 3 + t\ln(1{,}7) $$
$$ \boxed{\ln G(t) = \ln(1{,}7) \cdot t + \ln 3} $$

C'est une fonction affine de \(t\).

5) Justifier que \(\ln(\tau + 1) = \ln\left(\frac{G(t+1)}{G(t)}\right)\)

D'apres la question 3 :

$$ \tau = \frac{G(t+1) - G(t)}{G(t)} = \frac{G(t+1)}{G(t)} - 1 $$

Donc :

$$ \tau + 1 = \frac{G(t+1)}{G(t)} $$

En prenant le logarithme neperien des deux membres :

$$ \ln(\tau + 1) = \ln\left(\frac{G(t+1)}{G(t)}\right) $$

Verification numerique : \(\ln(\tau + 1) = \ln(1{,}7) \approx 0{,}5306\).

Et \(\ln\left(\frac{G(t+1)}{G(t)}\right) = \ln(1{,}7) \approx 0{,}5306\). Coherent.

$$ \boxed{\ln(\tau + 1) = \ln\left(\frac{G(t+1)}{G(t)}\right) = \ln(1{,}7)} $$
6) Coefficient directeur de la droite de \(\ln G(t)\)

D'apres la question 4, \(\ln G(t) = \ln(1{,}7) \cdot t + \ln 3\).

C'est une droite de la forme \(y = at + b\) avec :

  • Coefficient directeur : \(a = \ln(1{,}7)\)
  • Ordonnee a l'origine : \(b = \ln 3\)

De plus, on remarque que le coefficient directeur est egal a \(\ln(\tau + 1)\) d'apres la question 5.

$$ \boxed{\text{Le coefficient directeur est } \ln(1{,}7) \approx 0{,}5306} $$
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