A.

1. (1 pt) Factoriser, dans \(\mathbb{R}\), \(x^2 - x - 6\).
2. (1 pt) En deduire les solutions dans \(\mathbb{R}\) de l'inequation \((\ln x)^2 - \ln x - 6 < 0\).

B. Resoudre dans \(\mathbb{R}\) les equations ou inequations suivantes :

1. (0,75 pt) \(\ln\left(\frac{x-1}{x+3}\right) = 0\)
2. (0,75 pt) \(\ln\sqrt{2x - 3} = \ln(6 - x) - \frac{1}{2}\ln(x)\)
3. (0,75 pt) \(\frac{e^{x+1} \ln x}{x} < 0\)
4. (0,75 pt) \(\ln(x - 2) + \ln(x + 4) = 3\ln 2\)

Les notes en philosophie et en francais des eleves d'une classe de Terminale A sont consignees dans le tableau suivant ou \(x_i\) represente les notes en philosophie et \(y_i\) en francais.

1. (1 pt) Representer le nuage de points associe a cette serie.
2. (1 pt) Determiner les coordonnees du point moyen du nuage.
3. (1,5 pt) Ecrire l'equation de la droite (D) de MAYER.
4. 1. (0,5 pt) Ali a obtenu 9 en philosophie, estimer sa note en francais a l'aide de (D).
   2. (0,5 pt) Sani a obtenu 11 en francais, estimer sa note en philosophie a l'aide de (D).
5. (0,5 pt) Aicha a obtenu 10 en mathematiques, peut-on estimer sa note en philosophie a l'aide de la droite (D) ? Justifier la reponse.

Soit \(f\) la fonction definie par \(f(x) = \ln\left(1 + \frac{x^2}{(1+x)^2}\right)\) et \(\mathcal{C}\) la courbe representative de \(f\).

1. (1 pt) Justifier que le domaine de definition de \(f\) est \(D_f = ]-\infty; -1[ \cup ]-1; +\infty[\).
2. 1. (1 pt) Determiner les limites de \(f\) aux bornes de \(D_f\).
   2. (1 pt) En deduire les asymptotes de \(\mathcal{C}\).
3. 1. (1,5 pt) Montrer que \(f'(x) = \frac{2(1-x)}{(1+x)(1+x^2)}\).
   2. (1,5 pt) Prouver que \(f'(x) < 0\) si \(x \in ]-\infty; -1[ \cup ]1; +\infty[\) et \(f'(x) > 0\) si \(x \in ]-1; 1[\).
   3. (1 pt) En deduire le sens de variation de \(f\).
   4. (1 pt) Resoudre dans \(\mathbb{R}\) l'equation \(f(x) = 0\).
   5. (1 pt) Dresser le tableau des variations de \(f\).
4. (1 pt) Tracer \(\mathcal{C}\) dans un repere.