On etudie en laboratoire l'evolution d'une population de petits rongeurs, a partir d'un couple.

1. La taille de la population au bout de \(x\) mois est notee \(g(x)\). Dans le modele utilise, \(g\) est une solution particuliere de l'equation differentielle \((E_1) : y' = \frac{1}{8}y\) verifiant \(g(0) = 2\).
   1. (0,5 + 0,5 pt) Resoudre l'equation \((E_1)\) puis determiner l'expression de \(g(x)\).
   2. (0,5 pt) Au bout de combien de mois la population depassera-t-elle 1000 petits rongeurs ?
   3. (0,5 pt) Determiner la limite de \(g(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).
2. On realise a present une seconde experience pour etudier l'evolution de la population de petits rongeurs, a partir d'un couple en introduisant dans leur environnement un predateur. On note cette fois-ci \(f(x)\) la taille de la population au bout de \(x\) mois.

   Dans le modele utilise cette fois-ci \(f\) est une solution particuliere, definie sur \([0 ; +\infty[\) de l'equation

   $$(E_2) : u' = \frac{u}{2} - \frac{u^2}{12} \quad \text{verifiant } f(0) = 2.$$

   On considere la fonction numerique \(h\) definie par \(h = \frac{1}{u} - \frac{1}{12}\).

   1. (0,5 + 0,5 pt) Exprimer \(h\) en fonction de \(u\) et \(u'\). Montrer que \(u\) est solution de \((E_2)\) si et seulement si \(h\) est solution de \((E_2') : y' = -\frac{y}{2}\).
   2. (0,5 pt) Resoudre l'equation \((E_2')\) puis l'equation \((E_2)\). Determiner l'expression de \(f(x)\).
   3. (0,25 + 0,25 pt) Dans ce modele comment se comporte la taille \(f(x)\) de la population lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) ? Comment expliquez-vous cet etat de fait ?

On utilise deux pieces de monnaie : l'une \(M_1\) pipee, de sorte que lorsqu'on la lance, la probabilite d'obtenir pile est \(\frac{1}{4}\) ; l'autre \(M_2\) normale dont la probabilite d'obtenir pile est \(\frac{1}{2}\) a chaque lancer.

1. On prend une piece au hasard et on la lance.
   1. (0,5 pt) Illustrer cette experience aleatoire par un arbre pondere des probabilites.
   2. (0,5 pt) Quelle est la probabilite \(p_1\) d'obtenir pile ?
   3. (0,5 pt) On a obtenu pile ; quelle est la probabilite \(p_2\) d'avoir utilise la piece pipee ?
2. On choisit une piece au hasard et on la lance 3 fois de suite.
   1. (0,5 pt) Representer l'arbre pondere des probabilites de cette experience aleatoire.
   2. (0,5 pt) En deduire la probabilite \(p_3\) d'obtenir exactement une fois pile au cours des 3 lancers.
3. (0,5 pt) Quelle est la probabilite \(p_4\) d'obtenir au moins une fois pile ?
4. (1 pt) On lance les deux pieces ensemble. Quelle est la probabilite \(p_5\) d'obtenir le meme resultat pour les deux pieces ?

Soit \(f_m\) la fonction definie sur \(\mathbb{R}\) par \(f_m(x) = \frac{x^2 + 1}{e^{mx}}\) ou \(m\) est un parametre reel non nul. On note \((C_m)\) la courbe representative de la fonction \(f_m\) dans le plan muni d'un repere orthonorme \((O; \vec{i}, \vec{j})\).

1. (0,5 pt) On admet que toutes les courbes \((C_m)\) passent par deux points fixes A et B. Determiner les coordonnees de ces points.
2. (1,5 pt) Calculer les limites de \(f_m\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\) (on distinguera les cas : \(m < 0\) et \(m > 0\)).
3. (0,5 pt) Montrer que pour tout reel \(x\), \(f'_m(x) = e^{-mx}[-mx^2 + (2 - 2m)x + 2]\).
4. (0,5 pt) Montrer que quel que soit le reel \(m\) appartenant a \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\), l'equation \(f'_m(x) = 0\) admet deux racines que l'on precisera.
5. On suppose que \(m = 0{,}5\).
   1. (1 pt) Determiner le signe de \(f'_{0,5}(x)\) puis donner le sens de variation de \(f_{0,5}\).
   2. (0,75 pt) Dresser le tableau de variation de \(f_{0,5}\).
   3. (1 pt) Determiner l'equation de la tangente a \((C_{0,5})\) au point A d'abscisse \(-2\) et celle au point \(O(0;0)\).
6. On suppose que \(m = -0{,}5\).
   1. (1 pt) Determiner le signe de \(f'_{-0,5}(x)\) puis donner le sens de variation de \(f_{-0,5}\).
   2. (0,75 pt) Dresser le tableau de variation de \(f_{-0,5}\).
   3. (1 pt) Determiner les equations des tangentes a \((C_{-0,5})\) aux points A d'abscisse \(-2\) et \(O(0;0)\).
7. (0,5 pt) Determiner la position relative de \((C_{0,5})\) et \((C_{-0,5})\).
8. (1 + 1 pt) Tracer dans deux reperes differents les courbes des fonctions \(f_{0,5}\) et \(f_{-0,5}\).
9. 1. (0,5 pt) Soit \(h_1\) la restriction de \(f_{0,5}\) a \([1 - \sqrt{5}; 1 + \sqrt{5}]\). Montrer que \(h_1\) realise une bijection de \([1 - \sqrt{5}; 1 + \sqrt{5}]\) vers un intervalle \(J_1\) a preciser.
   2. (0,5 pt) Soit \(h_2\) la restriction de \(f_{-0,5}\) a \([-3 - \sqrt{5}; -3 + \sqrt{5}]\). Montrer que \(h_2\) realise une bijection de \([-3 - \sqrt{5}; -3 + \sqrt{5}]\) vers un intervalle \(J_2\) a preciser.