Corrige detaille - Chimie Exercice 1

1) Courbe \(pH = f(V_B)\)

On trace la courbe point par point. Elle presente l'allure typique d'un dosage d'un acide faible par une base forte : debut a pH relativement bas (2,6), montee lente (zone tampon), puis saut brusque de pH autour de l'equivalence (de pH 6,2 a 10,7), suivi d'une stabilisation en milieu basique.

2) Point d'equivalence et concentration \(C_A\)

Le point d'equivalence se situe au milieu du saut de pH. D'apres les donnees, le saut se produit entre \(V_B = 19{,}8\) mL (pH = 6,2) et \(V_B = 20{,}2\) mL (pH = 10,7).

$$\boxed{V_{BE} = 20 \text{ mL}, \quad pH_E = 8{,}5}$$

Le pH a l'equivalence est superieur a 7 : cela confirme que l'acide dose est un acide faible (a l'equivalence, la solution contient la base conjuguee \(A^-\) qui est une base faible).

Calcul de \(C_A\) :

A l'equivalence, la quantite de matiere d'acide est egale a la quantite de matiere de base ajoutee :

$$C_A \times V_A = C_B \times V_{BE}$$ $$C_A = \frac{C_B \times V_{BE}}{V_A} = \frac{0{,}1 \times 20}{20} = 0{,}1 \text{ mol/L}$$ $$\boxed{C_A = 0{,}1 \text{ mol/L} = 10^{-1} \text{ mol/L}}$$

3) Concentrations a pH = 2,6 et calcul de \(K_a\)

A \(V_B = 0\) (avant ajout de soude), seul l'acide faible \(AH\) est en solution. L'equilibre est :

$$AH \rightleftharpoons A^- + H^+$$

Concentration en ions \(H^+\) :

$$[H^+] = 10^{-pH} = 10^{-2,6} \approx 2{,}51 \times 10^{-3} \text{ mol/L}$$

Concentration en ions \(HO^-\) :

$$[HO^-] = \frac{K_e}{[H^+]} = \frac{10^{-14}}{2{,}51 \times 10^{-3}} \approx 3{,}98 \times 10^{-12} \text{ mol/L}$$

Negligeable devant \([H^+]\).

Concentration en \(A^-\) :

Par electroneutralite : \([H^+] = [A^-] + [HO^-]\). Comme \([HO^-]\) est negligeable :

$$[A^-] \approx [H^+] = 2{,}51 \times 10^{-3} \text{ mol/L}$$

Concentration en \(AH\) :

Conservation de la matiere : \([AH] + [A^-] = C_A\)

$$[AH] = C_A - [A^-] = 0{,}1 - 2{,}51 \times 10^{-3} \approx 9{,}75 \times 10^{-2} \text{ mol/L}$$

Constante d'acidite :

$$K_a = \frac{[A^-][H^+]}{[AH]} = \frac{(2{,}51 \times 10^{-3})^2}{9{,}75 \times 10^{-2}} = \frac{6{,}30 \times 10^{-6}}{9{,}75 \times 10^{-2}} \approx 6{,}46 \times 10^{-5}$$ $$pK_a = -\log(K_a) = -\log(6{,}46 \times 10^{-5}) \approx 4{,}19$$ $$\boxed{K_a \approx 6{,}5 \times 10^{-5}, \quad pK_a \approx 4{,}2}$$

4) Comparaison avec la methode graphique

Graphiquement, le \(pK_a\) se lit a la demi-equivalence. A la demi-equivalence (\(V_B = \frac{V_{BE}}{2} = 10\) mL), on a \(pH = pK_a\).

D'apres le tableau, a \(V_B = 10\) mL : \(pH = 4{,}2\).

$$\boxed{pK_a \text{ (graphique)} = 4{,}2}$$

Les deux methodes donnent la meme valeur \(pK_a \approx 4{,}2\). La coherence est excellente.

5) Identification de l'acide

En comparant \(pK_a = 4{,}2\) avec le tableau fourni, on identifie :

$$\boxed{AH = C_6H_5CO_2H \text{ (acide benzoique)}, \quad pK_a = 4{,}2}$$

Corrige detaille - Chimie Exercice 2

1) Equation de combustion et formule brute

L'equation generale de combustion d'un compose \(C_xH_yO_z\) est :

$$C_xH_yO_z + \left(x + \frac{y}{4} - \frac{z}{2}\right)O_2 \to xCO_2 + \frac{y}{2}H_2O$$

Nombre de moles de \(CO_2\) :

$$n_{CO_2} = \frac{220}{44} = 5 \text{ mol} \quad \Rightarrow \quad x = 5$$

Nombre de moles de \(H_2O\) :

$$n_{H_2O} = \frac{90}{18} = 5 \text{ mol} \quad \Rightarrow \quad \frac{y}{2} = 5 \quad \Rightarrow \quad y = 10$$

Nombre de moles de \(O_2\) :

$$x + \frac{y}{4} - \frac{z}{2} = 7 \quad \Rightarrow \quad 5 + \frac{10}{4} - \frac{z}{2} = 7$$ $$5 + 2{,}5 - \frac{z}{2} = 7 \quad \Rightarrow \quad \frac{z}{2} = 0{,}5 \quad \Rightarrow \quad z = 1$$ $$\boxed{C_5H_{10}O + 7O_2 \to 5CO_2 + 5H_2O}$$ $$\boxed{\text{Formule brute : } C_5H_{10}O}$$

Degre d'insaturation : \(DI = \frac{2 \times 5 + 2 - 10}{2} = 1\). Le compose possede une insaturation (soit une double liaison C=O, car non cyclique).

2) Formules semi-developpees de A et B

Avec la formule \(C_5H_{10}O\), une insaturation et pas de cycle, les composes contiennent une fonction \(C=O\). Il s'agit donc d'aldehydes ou de cetones.

Compose A (methyle sur le carbone 2) :

Avec un methyle en position 2 et une fonction carbonyle, A est le 2-methylbutanal :

$$A : \quad CH_3-\underset{|}{C}H(CH_3)-CH_2-CHO$$

Soit : \(CH_3CH(CH_3)CH_2CHO\) (2-methylbutanal)

Compose B (methyle sur le carbone 3) :

Avec un methyle en position 3 et une fonction carbonyle, B est la 3-methylbutan-2-one (ou methyl isopropyl cetone) :

$$B : \quad CH_3-CO-\underset{|}{C}H(CH_3)-CH_3$$

Soit : \(CH_3COCH(CH_3)CH_3\) (3-methylbutan-2-one)

3a) Carbone asymetrique et chiralite

Un carbone asymetrique est un carbone lie a 4 substituants differents.

Pour A (2-methylbutanal) : le carbone 2 porte \(-H\), \(-CH_3\), \(-CH_2CHO\) et ... En fait le C2 porte : \(-H\), \(-CH_3\), \(-CH_2CH_3\) (non, revoyons).

La chaine de A est : \(CHO-CH(CH_3)-CH_2-CH_3\). Le carbone 2 (celui portant le methyle) porte : \(-CHO\), \(-CH_3\), \(-CH_2CH_3\), \(-H\). Ce sont 4 groupes differents.

$$\boxed{A \text{ possede un carbone asymetrique (C}_2\text{) : A est chirale}}$$

Pour B (3-methylbutan-2-one) : \(CH_3-CO-CH(CH_3)-CH_3\). Le C3 porte : \(-COCH_3\), \(-CH_3\), \(-CH_3\), \(-H\). Deux substituants identiques (\(-CH_3\)), donc pas de carbone asymetrique.

$$\boxed{B \text{ n'a pas de carbone asymetrique : B n'est pas chirale}}$$

3b) Enantiomeres de A

Le 2-methylbutanal possede un carbone asymetrique (C2). Ses deux enantiomeres sont les configurations R et S, images l'une de l'autre dans un miroir (non superposables).

Les deux enantiomeres sont le \((R)\)-2-methylbutanal et le \((S)\)-2-methylbutanal. Ils ont les memes proprietes physiques (sauf le pouvoir rotatoire) et ne different que par la disposition spatiale autour du C2.

3c) Oxydation de A par le dichromate

A est un aldehyde. L'oxydation menagee d'un aldehyde donne un acide carboxylique.

$$A : CH_3CH(CH_3)CH_2CHO \xrightarrow{K_2Cr_2O_7/H^+} CH_3CH(CH_3)CH_2COOH$$ $$\boxed{C = CH_3CH(CH_3)CH_2COOH \text{ (acide 2-methylbutanoique)}}$$

3d) Reactions de A avec \(PCl_5\) puis ethanamine

L'enonce dit que A reagit avec \(PCl_5\) pour donner un compose \(C_1\) chlore. Cette reaction est typique d'un acide carboxylique (c'est donc C qui reagit avec \(PCl_5\)) ou directement le produit d'oxydation. En fait, c'est le produit C (acide) qui reagit avec \(PCl_5\) pour former un chlorure d'acyle.

Reaction 1 : Formation du chlorure d'acyle \(C_1\)

$$CH_3CH(CH_3)CH_2COOH + PCl_5 \to CH_3CH(CH_3)CH_2COCl + POCl_3 + HCl$$ $$\boxed{C_1 = CH_3CH(CH_3)CH_2COCl \text{ (chlorure de 2-methylbutanoyle)}}$$

Reaction 2 : Reaction avec l'ethanamine

Un chlorure d'acyle reagit avec une amine pour former un amide :

$$CH_3CH(CH_3)CH_2COCl + 2CH_3CH_2NH_2 \to CH_3CH(CH_3)CH_2CO-NHCH_2CH_3 + CH_3CH_2NH_3^+Cl^-$$ $$\boxed{C_2 = CH_3CH(CH_3)CH_2CONHC_2H_5 \text{ (N-ethyl-2-methylbutanamide)}}$$

On utilise 2 moles d'amine : une pour la reaction, l'autre pour capter le HCl libere (formation du chlorhydrate d'amine).

4) Alcool \(B_1\) et alcene \(B_2\)

B est une cetone (3-methylbutan-2-one). L'oxydation menagee d'un alcool secondaire donne une cetone.

Alcool \(B_1\) :

$$B_1 : CH_3-CHOH-CH(CH_3)-CH_3$$ $$\boxed{B_1 = CH_3CHOHCH(CH_3)CH_3 \text{ (3-methylbutan-2-ol)}}$$

C'est un alcool secondaire. Son oxydation menagee par le dichromate donne bien la cetone B.

Alcene \(B_2\) :

L'hydratation d'un alcene selon la regle de Markovnikov donne un alcool. L'oxydation de cet alcool donnerait la cetone B. L'alcene correspondant est :

$$B_2 : CH_3-CH=C(CH_3)-CH_3 \quad \text{ou} \quad CH_2=CH-CH(CH_3)-CH_3$$

Par la regle de Markovnikov, l'hydratation de \(CH_3CH=C(CH_3)CH_3\) (2-methylbut-2-ene) donnerait le 2-methylbutan-2-ol, pas le 3-methylbutan-2-ol. Revoyons :

L'alcene qui donne le 3-methylbutan-2-ol par hydratation est le 3-methylbut-1-ene \(CH_2=CH-CH(CH_3)-CH_3\). Par Markovnikov, le \(H\) se fixe sur le carbone le moins substitue et le \(OH\) sur le plus substitue, donnant \(CH_3CHOHCH(CH_3)CH_3\).

$$\boxed{B_2 = CH_2=CHCH(CH_3)CH_3 \text{ (3-methylbut-1-ene)}}$$

Corrige detaille - Physique Exercice 1

Conversion des vitesses

Convertissons les vitesses en m/s :

$$v_A = 108 \text{ km/h} = \frac{108}{3{,}6} = 30 \text{ m/s}$$ $$v_B = 90 \text{ km/h} = \frac{90}{3{,}6} = 25 \text{ m/s}$$

1) Theoreme de l'energie cinetique entre A et B

Le theoreme de l'energie cinetique s'ecrit : la variation d'energie cinetique est egale a la somme des travaux des forces exterieures.

$$\Delta E_c = \frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2 = W(\vec{P}) + W(\vec{R_N}) + W(\vec{f})$$

Sur un plan horizontal :

• \(W(\vec{P}) = 0\) (poids perpendiculaire au deplacement)
• \(W(\vec{R_N}) = 0\) (reaction normale perpendiculaire au deplacement)
• \(W(\vec{f}) = -f \times AB\) (force de frottement opposee au deplacement)

$$\frac{1}{2}m(v_B^2 - v_A^2) = -f \times AB$$ $$f = \frac{m(v_A^2 - v_B^2)}{2 \times AB} = \frac{1200 \times (900 - 625)}{2 \times 60} = \frac{1200 \times 275}{120} = 2750 \text{ N}$$ $$\boxed{f = 2750 \text{ N}}$$

2) Distance d'arret AC

On applique le theoreme de l'energie cinetique entre A et C, ou la voiture s'arrete (\(v_C = 0\)) :

$$\frac{1}{2}m(v_C^2 - v_A^2) = -f \times AC$$ $$0 - \frac{1}{2} \times 1200 \times 900 = -2750 \times AC$$ $$AC = \frac{\frac{1}{2} \times 1200 \times 900}{2750} = \frac{540000}{2750} \approx 196{,}4 \text{ m}$$ $$\boxed{AC \approx 196{,}4 \text{ m}}$$

3) Acceleration

D'apres le PFD : \(ma = -f\) (sur le plan horizontal, seule la force de frottement agit dans la direction du mouvement).

$$a = \frac{-f}{m} = \frac{-2750}{1200} \approx -2{,}29 \text{ m/s}^2$$ $$\boxed{a \approx -2{,}3 \text{ m/s}^2}$$

L'acceleration est negative (decceleration), coherent avec un freinage.

4) Nature du mouvement

L'acceleration est constante et non nulle. Le mouvement est donc :

$$\boxed{\text{Mouvement rectiligne uniformement decelere (MRUD)}}$$

5) Equation horaire et temps d'arret

On prend \(A\) comme origine des espaces (\(x_0 = 0\)) et des temps (\(t_0 = 0\)), avec \(v_0 = v_A = 30\) m/s.

Equation horaire :

$$v(t) = v_0 + at = 30 - 2{,}3t$$ $$\boxed{x(t) = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 = 30t - 1{,}15t^2}$$

Temps d'arret :

A l'arret, \(v(t) = 0\) :

$$30 - 2{,}3t = 0 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{30}{2{,}3} \approx 13{,}0 \text{ s}$$ $$\boxed{t_{arret} \approx 13{,}0 \text{ s}}$$

Verification : \(x(13) = 30 \times 13 - 1{,}15 \times 169 = 390 - 194{,}4 = 195{,}6\) m, coherent avec \(AC \approx 196{,}4\) m (l'ecart vient de l'arrondi sur \(a\)).

6) Freinage en descente (\(\theta = 15°\))

Sur une pente descendante, le poids a une composante le long de la pente qui accelere le vehicule. Le theoreme de l'energie cinetique entre le debut et l'arret donne :

$$\frac{1}{2}m(0 - v_A^2) = W(\vec{P}) + W(\vec{f})$$

Le travail du poids sur une descente de longueur \(d\) inclinee de \(\theta\) :

$$W(\vec{P}) = mgd\sin\theta \quad \text{(positif car la descente est dans le sens du mouvement)}$$ $$W(\vec{f}) = -fd$$ $$-\frac{1}{2}mv_A^2 = mgd\sin\theta - fd$$ $$-\frac{1}{2}mv_A^2 = d(mg\sin\theta - f)$$ $$d = \frac{\frac{1}{2}mv_A^2}{f - mg\sin\theta}$$

Calculons numeriquement :

$$mg\sin 15° = 1200 \times 9{,}8 \times \sin 15° = 11760 \times 0{,}2588 \approx 3043{,}4 \text{ N}$$

Le denominateur \(f - mg\sin\theta = 2750 - 3043{,}4 = -293{,}4 < 0\), ce qui donnerait une distance negative, physiquement impossible.

$$\boxed{\text{La voiture ne peut pas s'arreter sur cette pente car } mg\sin\theta > f}$$

En fait, avec \(g = 10\) m/s\(^2\) (valeur souvent utilisee au bac) :

$$mg\sin 15° = 1200 \times 10 \times 0{,}2588 \approx 3106 \text{ N} > 2750 \text{ N}$$

La conclusion reste la meme. Si l'enonce attendait une reponse numerique, il est possible que l'angle soit different ou que \(g = 9{,}8\) m/s\(^2\). Neanmoins, avec les donnees fournies, la voiture ne s'arrete pas sur cette descente.

Si toutefois on suppose que la force de frottement est suffisante (par exemple avec un angle plus faible ou une force plus grande), la formule serait :

$$\boxed{d = \frac{mv_A^2}{2(f - mg\sin\theta)}}$$

Corrige detaille - Physique Exercice 2

1) Longueur d'onde

$$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{10}{50} = 0{,}20 \text{ m} = 20 \text{ cm}$$ $$\boxed{\lambda = 0{,}20 \text{ m} = 20 \text{ cm}}$$

2) Equation horaire de O

L'equation horaire generale d'un mouvement sinusoidal est :

$$y_O(t) = a\sin(2\pi f t + \varphi)$$

Conditions initiales :

• A \(t = 0\) : \(y_O(0) = 0\), donc \(a\sin\varphi = 0\), soit \(\varphi = 0\) ou \(\varphi = \pi\).
• La vitesse a \(t = 0\) est positive : \(v_O(0) = 2\pi f a \cos\varphi > 0\), donc \(\cos\varphi > 0\), ce qui impose \(\varphi = 0\).

La pulsation est :

$$\omega = 2\pi f = 2\pi \times 50 = 100\pi \text{ rad/s}$$ $$\boxed{y_O(t) = 5\sin(100\pi t) \text{ (en mm)}}$$

Soit en metres : \(y_O(t) = 5 \times 10^{-3} \sin(100\pi t)\).

3) Vitesse de O a \(t = 0{,}01\) s

La vitesse est la derivee de la position :

$$v_O(t) = \frac{dy_O}{dt} = 5 \times 100\pi \cos(100\pi t) = 500\pi \cos(100\pi t) \text{ (en mm/s)}$$

A \(t = 0{,}01\) s :

$$v_O(0{,}01) = 500\pi \cos(100\pi \times 0{,}01) = 500\pi \cos(\pi) = 500\pi \times (-1) = -500\pi$$ $$\boxed{v_O(0{,}01) = -500\pi \text{ mm/s} \approx -1{,}57 \text{ m/s}}$$

Le signe negatif signifie que O se deplace vers le bas a cet instant.

4) Equation de \(y_M(t)\)

Le point \(M\) situe a la distance \(x\) de \(O\) recoit le signal avec un retard \(\tau = \frac{x}{v}\). Son equation est :

$$y_M(t) = y_O\left(t - \frac{x}{v}\right) = a\sin\left(\omega\left(t - \frac{x}{v}\right)\right)$$ $$y_M(t) = 5\sin\left(100\pi t - \frac{100\pi x}{10}\right) = 5\sin(100\pi t - 10\pi x)$$

Ou en utilisant \(\frac{2\pi}{\lambda}\) :

$$\frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0{,}20} = 10\pi \text{ rad/m}$$ $$\boxed{y_M(t) = 5\sin(100\pi t - 10\pi x) \text{ (en mm, } x \text{ en m)}}$$

5) Comparaison de \(M_1\) et \(M_2\)

Point \(M_1\) : \(x_1 = 5\) cm \(= 0{,}05\) m

$$y_{M_1}(t) = 5\sin(100\pi t - 10\pi \times 0{,}05) = 5\sin(100\pi t - 0{,}5\pi)$$

Point \(M_2\) : \(x_2 = 15\) cm \(= 0{,}15\) m

$$y_{M_2}(t) = 5\sin(100\pi t - 10\pi \times 0{,}15) = 5\sin(100\pi t - 1{,}5\pi)$$

Dephasage entre \(M_1\) et \(M_2\) :

$$\Delta\varphi = (-0{,}5\pi) - (-1{,}5\pi) = \pi$$

Cela est coherent avec le fait que la distance \(M_1M_2 = 10\) cm \(= \frac{\lambda}{2}\). Deux points separes d'une demi-longueur d'onde vibrent en opposition de phase.

Verifions : \(y_{M_2}(t) = 5\sin(100\pi t - 1{,}5\pi) = 5\sin(100\pi t - 0{,}5\pi - \pi) = -5\sin(100\pi t - 0{,}5\pi) = -y_{M_1}(t)\).

6) Aspect de la corde a \(t = 0{,}04\) s

A \(t = 0{,}04\) s, on determine la position de chaque point en fonction de \(x\) :

$$y(x, t=0{,}04) = 5\sin(100\pi \times 0{,}04 - 10\pi x) = 5\sin(4\pi - 10\pi x) = 5\sin(-10\pi x)$$

Car \(\sin(4\pi - 10\pi x) = \sin(-10\pi x)\) (puisque \(\sin(4\pi + \theta) = \sin(\theta)\), et ici \(\theta = -10\pi x\)).

$$y(x, 0{,}04) = -5\sin(10\pi x)$$

C'est une sinusoide en fonction de \(x\), de periode spatiale \(\lambda = 0{,}20\) m.

Points remarquables :

• \(x = 0\) : \(y = 0\)
• \(x = 0{,}05\) m : \(y = -5\sin(0{,}5\pi) = -5\) mm
• \(x = 0{,}10\) m : \(y = -5\sin(\pi) = 0\)
• \(x = 0{,}15\) m : \(y = -5\sin(1{,}5\pi) = +5\) mm
• \(x = 0{,}20\) m : \(y = -5\sin(2\pi) = 0\)

Attention : l'onde ne s'est propagee que sur une distance \(d = v \times t = 10 \times 0{,}04 = 0{,}40\) m = 40 cm a partir de \(O\). Au-dela de 40 cm, la corde est encore au repos.

On trace la sinusoide \(y = -5\sin(10\pi x)\) pour \(0 \leq x \leq 0{,}40\) m (2 longueurs d'onde), puis \(y = 0\) au-dela.