Corrige detaille - Exercice 1

1) Resolution de \(y' + 2y = 0\)

C'est une equation differentielle lineaire du premier ordre a coefficients constants, sans second membre. La solution generale est de la forme \(y = Ce^{rx}\) ou \(r\) est la racine de l'equation caracteristique.

Equation caracteristique : \(r + 2 = 0 \Rightarrow r = -2\)

Condition initiale \(f(0) = 1\) :

$$f(0) = Ce^0 = C = 1$$ $$\boxed{f(x) = e^{-2x}}$$

2) Valeur moyenne de \(f\) sur \([0, 1]\)

La valeur moyenne d'une fonction \(f\) sur \([a,b]\) est \(\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx\).

$$\mu = \frac{1}{1-0}\int_0^1 e^{-2x}\,dx = \left[-\frac{1}{2}e^{-2x}\right]_0^1$$ $$\mu = -\frac{1}{2}e^{-2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(1 - e^{-2})$$ $$\boxed{\mu = \frac{1}{2}(1 - e^{-2}) \approx 0{,}432}$$

3) Valeur moyenne sur \([n, n+1]\)

$$\mu_n = \frac{1}{(n+1)-n}\int_n^{n+1} e^{-2x}\,dx = \left[-\frac{1}{2}e^{-2x}\right]_n^{n+1}$$ $$\mu_n = -\frac{1}{2}e^{-2(n+1)} + \frac{1}{2}e^{-2n} = \frac{1}{2}e^{-2n}(1 - e^{-2})$$ $$\boxed{\mu_n = \frac{1}{2}(1 - e^{-2})e^{-2n}}$$

On remarque que \(\mu_n = U_n\) ! La suite \(U_n\) represente donc les valeurs moyennes de \(f\) sur les intervalles successifs \([n, n+1]\).

4a) Calcul de \(U_0\), \(U_1\), \(U_2\)

$$U_0 = \frac{1}{2}(1 - e^{-2})e^0 = \frac{1}{2}(1 - e^{-2}) \approx 0{,}432$$ $$U_1 = \frac{1}{2}(1 - e^{-2})e^{-2} \approx 0{,}432 \times 0{,}135 \approx 0{,}0585$$ $$U_2 = \frac{1}{2}(1 - e^{-2})e^{-4} \approx 0{,}432 \times 0{,}0183 \approx 0{,}00792$$

4b) Suite geometrique

Calculons le rapport \(\frac{U_{n+1}}{U_n}\) :

$$\frac{U_{n+1}}{U_n} = \frac{\frac{1}{2}(1-e^{-2})e^{-2(n+1)}}{\frac{1}{2}(1-e^{-2})e^{-2n}} = \frac{e^{-2(n+1)}}{e^{-2n}} = e^{-2}$$

Le rapport est constant et egal a \(e^{-2}\).

4c) Somme et limite

La somme des \(n+1\) premiers termes d'une suite geometrique est \(S_n = U_0 \cdot \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\).

$$S_n = \frac{1}{2}(1-e^{-2}) \cdot \frac{1 - e^{-2(n+1)}}{1 - e^{-2}}$$ $$\boxed{S_n = \frac{1}{2}(1 - e^{-2(n+1)})}$$

Limite : Comme \(e^{-2(n+1)} \to 0\) quand \(n \to +\infty\) :

$$\boxed{\lim_{n \to +\infty} S_n = \frac{1}{2}}$$

Interpretation : La somme de toutes les valeurs moyennes de \(f\) sur les intervalles \([n, n+1]\) pour \(n\) allant de 0 a l'infini vaut \(\frac{1}{2}\). C'est aussi \(\int_0^{+\infty} e^{-2x}\,dx = \frac{1}{2}\).

Corrige detaille - Exercice 2

1) Nuage de points

On place les points dans un repere avec \(x\) en abscisse (de 0 a 6) et \(y\) en ordonnee (de 9 a 12). Les points semblent quasi-alignes, ce qui suggere un ajustement affine, mais un ajustement exponentiel peut etre plus precis.

2) Point moyen \(G(\bar{x}, \bar{y})\)

$$\bar{x} = \frac{0+1+2+3+4+5+6}{7} = \frac{21}{7} = 3$$ $$\bar{y} = \frac{9{,}2+9{,}5+9{,}8+10{,}1+10{,}4+10{,}8+11{,}1}{7} = \frac{70{,}9}{7} \approx 10{,}129$$ $$\boxed{G(3\,;\, 10{,}129)}$$

3) Droite de regression par les moindres carres

L'equation de la droite de regression de \(y\) en \(x\) est \(y = ax + b\) avec :

$$a = \frac{\overline{xy} - \bar{x}\bar{y}}{\overline{x^2} - \bar{x}^2}$$

Calculons les grandeurs necessaires :

\(x_i\)	\(y_i\)	\(x_i^2\)	\(x_i y_i\)
0	9,2	0	0
1	9,5	1	9,5
2	9,8	4	19,6
3	10,1	9	30,3
4	10,4	16	41,6
5	10,8	25	54,0
6	11,1	36	66,6
Somme	70,9	91	221,6

$$\overline{x^2} = \frac{91}{7} = 13, \quad \overline{xy} = \frac{221{,}6}{7} \approx 31{,}657$$ $$a = \frac{31{,}657 - 3 \times 10{,}129}{13 - 9} = \frac{31{,}657 - 30{,}386}{4} = \frac{1{,}271}{4} \approx 0{,}318$$ $$b = \bar{y} - a\bar{x} = 10{,}129 - 0{,}318 \times 3 = 10{,}129 - 0{,}954 \approx 9{,}175$$ $$\boxed{y \approx 0{,}318x + 9{,}175}$$

4) Ajustement exponentiel

Calculons \(z_i = \ln(y_i)\) :

\(x_i\)	\(y_i\)	\(z_i = \ln(y_i)\)
0	9,2	2,219
1	9,5	2,251
2	9,8	2,282
3	10,1	2,313
4	10,4	2,342
5	10,8	2,380
6	11,1	2,407

a) Droite de regression de \(z\) en \(x\) :

$$\bar{z} = \frac{2{,}219+2{,}251+2{,}282+2{,}313+2{,}342+2{,}380+2{,}407}{7} = \frac{16{,}194}{7} \approx 2{,}313$$

Calculons \(\overline{xz}\) :

\(x_i\)	\(z_i\)	\(x_i z_i\)
0	2,219	0
1	2,251	2,251
2	2,282	4,564
3	2,313	6,939
4	2,342	9,368
5	2,380	11,900
6	2,407	14,442
		49,464

$$\overline{xz} = \frac{49{,}464}{7} \approx 7{,}066$$ $$a' = \frac{7{,}066 - 3 \times 2{,}313}{13 - 9} = \frac{7{,}066 - 6{,}939}{4} = \frac{0{,}127}{4} \approx 0{,}0318$$ $$b' = \bar{z} - a'\bar{x} = 2{,}313 - 0{,}0318 \times 3 = 2{,}313 - 0{,}095 \approx 2{,}218$$ $$\boxed{z \approx 0{,}0318x + 2{,}218}$$

b) Ajustement exponentiel :

Puisque \(z = \ln y\), on a \(\ln y = 0{,}0318x + 2{,}218\), soit \(y = e^{0{,}0318x + 2{,}218} = e^{2{,}218} \cdot e^{0{,}0318x}\).

On ecrit \(y = ab^x\) avec :

$$a = e^{2{,}218} \approx 9{,}19$$ $$b = e^{0{,}0318} \approx 1{,}032$$ $$\boxed{y \approx 9{,}19 \times (1{,}032)^x}$$

Interpretation : Le taux de croissance annuel de la population est d'environ 3,2%. La population initiale (en 1995) est d'environ 9,19 millions d'habitants.

Corrige detaille - Probleme

Partie A

1) Limites de \(f\) aux bornes

L'ensemble de definition est \(]-1, 0[\). On a \(f(x) = \frac{1}{x^2+x} = \frac{1}{x(x+1)}\). Etudions les limites en \(-1^+\) et en \(0^-\).

Limite en \(-1^+\) :

Quand \(x \to -1^+\) : \(x \to -1\) (donc \(x < 0\) proche de \(-1\)) et \(x + 1 \to 0^+\).

Donc \(x(x+1) \to (-1)(0^+) = 0^-\).

$$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \frac{1}{0^-} = -\infty$$

Limite en \(0^-\) :

Quand \(x \to 0^-\) : \(x \to 0^-\) et \(x + 1 \to 1\).

Donc \(x(x+1) \to 0^- \times 1 = 0^-\).

$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \frac{1}{0^-} = -\infty$$

2) Derivee et variations

On a \(f(x) = \frac{1}{x^2+x}\). Utilisons la formule \(\left(\frac{1}{u}\right)' = -\frac{u'}{u^2}\).

$$f'(x) = -\frac{2x + 1}{(x^2 + x)^2}$$

Signe de \(f'(x)\) sur \(]-1, 0[\) :

• \((x^2+x)^2 > 0\) toujours (carre non nul car \(x \neq 0\) et \(x \neq -1\))
• \(2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{1}{2}\)
• Pour \(x \in ]-1, -\frac{1}{2}[\) : \(2x+1 < 0\), donc \(f'(x) > 0\) (croissante)
• Pour \(x \in ]-\frac{1}{2}, 0[\) : \(2x+1 > 0\), donc \(f'(x) < 0\) (decroissante)

3) Maximum

\(f'\) s'annule en \(x = -\frac{1}{2}\) et change de signe (positif avant, negatif apres), donc \(f\) admet un maximum en \(x = -\frac{1}{2}\).

$$f\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{1}{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}} = \frac{1}{-\frac{1}{4}} = -4$$ $$\boxed{f \text{ admet un maximum egal a } -4 \text{ en } x = -\frac{1}{2}}$$

Remarque : Le "maximum" de \(f\) est negatif (\(-4\)) car \(f\) est negative sur tout \(]-1, 0[\) (en effet \(x(x+1) < 0\) sur cet intervalle).

4) Decomposition en elements simples

On cherche \(A\) et \(B\) tels que \(\frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}\).

$$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{A(x+1) + Bx}{x(x+1)}$$

Identification : \(A(x+1) + Bx = 1\) pour tout \(x\).

• \(x = 0\) : \(A = 1\)
• \(x = -1\) : \(-B = 1\), donc \(B = -1\)

$$\boxed{f(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}}$$

5) Primitive de \(f\)

Sur \(]-1, 0[\), on a \(x < 0\) et \(x + 1 > 0\) (mais entre 0 et 1), donc \(-x > 0\) et \(x+1 > 0\).

$$F(x) = \ln|x| - \ln|x+1| + C = \ln(-x) - \ln(x+1) + C$$

(car sur \(]-1,0[\), \(|x| = -x\) et \(|x+1| = x+1\))

$$\boxed{F(x) = \ln\left(\frac{-x}{x+1}\right) + C}$$

Partie B

1) \(g\) est une primitive de \(f\)

On a \(g(x) = \ln\left(\frac{-x}{x+1}\right)\). D'apres la question precedente, la primitive de \(f\) est exactement \(\ln\left(\frac{-x}{x+1}\right) + C\).

Verifions en calculant \(g'(x)\) :

$$g(x) = \ln(-x) - \ln(x+1)$$ $$g'(x) = \frac{-1}{-x} - \frac{1}{x+1} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} = \frac{1}{x(x+1)} = f(x) \checkmark$$ $$\boxed{g'(x) = f(x) \text{, donc } g \text{ est bien une primitive de } f.}$$

2) Variations de \(g\)

Puisque \(g' = f\), les variations de \(g\) dependent du signe de \(f\). Or sur \(]-1, 0[\), \(x < 0\) et \(x + 1 > 0\), donc \(x(x+1) < 0\), et \(f(x) = \frac{1}{x(x+1)} < 0\).

Limites de \(g\) :

• En \(-1^+\) : \(\frac{-x}{x+1} \to \frac{1}{0^+} = +\infty\), donc \(g(x) \to +\infty\)
• En \(0^-\) : \(\frac{-x}{x+1} \to \frac{0^+}{1} = 0^+\), donc \(g(x) \to -\infty\)

Valeur en \(x = -\frac{1}{2}\) : \(g\left(-\frac{1}{2}\right) = \ln\left(\frac{1/2}{1/2}\right) = \ln(1) = 0\).

3) Courbe de \(g\)

Points remarquables :

• Les droites \(x = -1\) et \(x = 0\) sont des asymptotes verticales
• \(g\left(-\frac{1}{2}\right) = 0\) : la courbe passe par \(\left(-\frac{1}{2}, 0\right)\)
• \(g\) est strictement decroissante de \(+\infty\) a \(-\infty\) sur \(]-1, 0[\)