Corrige detaille - Exercice 1

Rappel des donnees :

• \(p(M) = 0{,}07\) (7% du cheptel est malade)
• \(p_T(M) = 0{,}95\) : si le test est positif, probabilite d'etre malade = 95%
• \(p_{\overline{T}}(M) = 0{,}02\) : si le test est negatif, probabilite d'etre malade = 2%
• \(p(T) = x\) donc \(p(\overline{T}) = 1 - x\)

1) Arbre pondere

On construit l'arbre avec les deux evenements de premier niveau : T (test positif) et \(\overline{T}\) (test negatif), puis les evenements conditionnels M et \(\overline{M}\).

Les probabilites conditionnelles sur chaque branche secondaire somment bien a 1 :

• \(0{,}95 + 0{,}05 = 1\) (branche T)
• \(0{,}02 + 0{,}98 = 1\) (branche \(\overline{T}\))

2a) Demonstration que \(p(M) = 0{,}02 + 0{,}93x\)

On utilise la formule des probabilites totales : les evenements \(T\) et \(\overline{T}\) forment un systeme complet d'evenements.

En remplacant :

$$p(M) = x \times 0{,}95 + (1 - x) \times 0{,}02$$ $$p(M) = 0{,}95x + 0{,}02 - 0{,}02x$$ $$\boxed{p(M) = 0{,}02 + 0{,}93x}$$

2b) Valeur exacte de \(x\)

On sait que \(p(M) = 0{,}07\). On resout l'equation :

$$0{,}02 + 0{,}93x = 0{,}07$$ $$0{,}93x = 0{,}07 - 0{,}02 = 0{,}05$$ $$x = \frac{0{,}05}{0{,}93} = \frac{5}{93}$$ $$\boxed{x = \frac{5}{93}}$$

Verification : \(0{,}02 + 0{,}93 \times \frac{5}{93} = 0{,}02 + \frac{5}{100} = 0{,}02 + 0{,}05 = 0{,}07\). C'est correct.

3) Probabilite qu'un animal malade ait un test negatif

On cherche \(p_M(\overline{T})\), la probabilite que le test soit negatif sachant que l'animal est malade. On utilise la formule de Bayes.

Calculons \(p(\overline{T} \cap M)\) :

$$p(\overline{T} \cap M) = p(\overline{T}) \times p_{\overline{T}}(M) = \left(1 - \frac{5}{93}\right) \times 0{,}02 = \frac{88}{93} \times \frac{2}{100} = \frac{176}{9300} = \frac{44}{2325}$$

Donc :

$$p_M(\overline{T}) = \frac{\frac{44}{2325}}{0{,}07} = \frac{44}{2325} \times \frac{100}{7} = \frac{4400}{16275} = \frac{880}{3255} = \frac{176}{651}$$

Simplifions : \(\text{pgcd}(176, 651)\). \(651 = 3 \times 217 = 3 \times 7 \times 31\) et \(176 = 16 \times 11\). Aucun facteur commun, donc :

$$\boxed{p_M(\overline{T}) = \frac{176}{651} \approx 0{,}270}$$

Interpretation : Environ 27% des animaux malades ont un test negatif. Cela montre les limites du test diagnostique : il manque plus d'un quart des animaux effectivement malades.

Corrige detaille - Exercice 2

1a) Existence des solutions

Si \(z = r \in \mathbb{R}\) est solution, alors en substituant dans (E) et en separant parties reelle et imaginaire :

$$r^3 - 4r^2 + 3r + i\sqrt{3}(-r^2 + 4r - 3) = 0$$

Pour qu'un reel soit solution, les deux parties (reelle et imaginaire) doivent etre nulles :

• Partie reelle : \(r^3 - 4r^2 + 3r = 0\), soit \(r(r^2 - 4r + 3) = 0\), donc \(r(r-1)(r-3) = 0\).
• Partie imaginaire : \(-r^2 + 4r - 3 = 0\), soit \(r^2 - 4r + 3 = 0\), donc \((r-1)(r-3) = 0\).

Les solutions communes aux deux equations sont \(r = 1\) et \(r = 3\).

On note \(r = 0\) est solution de la premiere mais pas de la seconde, donc seuls \(r = 1\) et \(r = 3\) conviennent.

$$\boxed{\alpha = 1, \quad \beta = 3}$$

1b) Determination de \(\omega\)

Par les relations entre coefficients et racines (formules de Viete), la somme des trois racines vaut le coefficient de \(z^2\) change de signe :

$$\alpha + \beta + \omega = 4 + i\sqrt{3}$$ $$1 + 3 + \omega = 4 + i\sqrt{3}$$ $$\omega = i\sqrt{3}$$

Verification : \(\omega = i\sqrt{3}\) est bien un imaginaire pur.

Verifions que \(\omega = i\sqrt{3}\) est bien solution de (E) :

$$(i\sqrt{3})^3 - (4+i\sqrt{3})(i\sqrt{3})^2 + (3+4i\sqrt{3})(i\sqrt{3}) - 3i\sqrt{3}$$ $$= -3i\sqrt{3} - (4+i\sqrt{3})(-3) + (3+4i\sqrt{3})(i\sqrt{3}) - 3i\sqrt{3}$$ $$= -3i\sqrt{3} + 12 + 3i\sqrt{3} + 3i\sqrt{3} + 4i^2 \cdot 3 - 3i\sqrt{3}$$ $$= -3i\sqrt{3} + 12 + 3i\sqrt{3} + 3i\sqrt{3} - 12 - 3i\sqrt{3} = 0 \checkmark$$ $$\boxed{\omega = i\sqrt{3}}$$

2a) Module et argument de \(a\)

La similitude directe \(f(z) = az + b\) admet \(\omega\) comme point fixe : \(f(\omega) = \omega\), donc :

$$a\omega + b = \omega \quad \Rightarrow \quad b = \omega(1-a) \quad \text{...(1)}$$

De plus, \(f(\alpha) = \beta\) :

$$a\alpha + b = \beta \quad \text{...(2)}$$

En substituant (1) dans (2) :

$$a\alpha + \omega(1-a) = \beta$$ $$a(\alpha - \omega) = \beta - \omega$$ $$a = \frac{\beta - \omega}{\alpha - \omega} = \frac{3 - i\sqrt{3}}{1 - i\sqrt{3}}$$

Multiplions numerateur et denominateur par le conjugue du denominateur :

$$a = \frac{(3 - i\sqrt{3})(1 + i\sqrt{3})}{(1 - i\sqrt{3})(1 + i\sqrt{3})} = \frac{3 + 3i\sqrt{3} - i\sqrt{3} - i^2 \cdot 3}{1 + 3}$$ $$a = \frac{3 + 3i\sqrt{3} - i\sqrt{3} + 3}{4} = \frac{6 + 2i\sqrt{3}}{4} = \frac{3 + i\sqrt{3}}{2}$$

Module de \(a\) :

$$|a| = \frac{1}{2}\sqrt{9 + 3} = \frac{\sqrt{12}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$

Argument de \(a\) :

Ecrivons \(a\) sous forme trigonometrique. On a \(a = \sqrt{3}\left(\frac{3}{2\sqrt{3}} + i\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\right) = \sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\right)\).

$$a = \sqrt{3}\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)$$ $$\boxed{|a| = \sqrt{3}, \quad \arg(a) = \frac{\pi}{6}}$$

2b) Determination de \(b\)

En utilisant la relation (1) :

$$b = \omega(1 - a) = i\sqrt{3}\left(1 - \frac{3 + i\sqrt{3}}{2}\right) = i\sqrt{3} \cdot \frac{2 - 3 - i\sqrt{3}}{2}$$ $$b = i\sqrt{3} \cdot \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} = \frac{-i\sqrt{3} - i^2 \cdot 3}{2} = \frac{-i\sqrt{3} + 3}{2}$$ $$\boxed{b = \frac{3 - i\sqrt{3}}{2}}$$

2c) Caracterisation de \(f\)

Une similitude directe \(f(z) = az + b\) avec \(a \neq 1\) est une similitude directe de centre \(\Omega\) (point fixe), de rapport \(|a| = \sqrt{3}\) et d'angle \(\arg(a) = \frac{\pi}{6}\).

Le centre est le point fixe \(\Omega\) d'affixe \(\omega = i\sqrt{3}\).

Corrige detaille - Probleme

Partie A

1) Limites de \(f\)

Limite en \(0^+\) :

Quand \(x \to 0^+\), \(\sqrt{1+x} \to 1\), donc \(\sqrt{1+x} - 1 \to 0^+\).

$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \ln(0^+) = -\infty$$

Limite en \(+\infty\) :

Quand \(x \to +\infty\), \(\sqrt{1+x} \to +\infty\), donc \(\sqrt{1+x} - 1 \to +\infty\).

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ln(+\infty) = +\infty$$

2) Variations de \(f\)

Calculons la derivee de \(f\). On pose \(u(x) = \sqrt{1+x} - 1\), donc \(f(x) = \ln(u(x))\) et \(f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}\).

$$u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1+x}}$$ $$f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{1+x}}}{\sqrt{1+x} - 1} = \frac{1}{2\sqrt{1+x}(\sqrt{1+x} - 1)}$$

Pour tout \(x > 0\), on a \(\sqrt{1+x} > 1\), donc \(\sqrt{1+x} - 1 > 0\), et \(2\sqrt{1+x} > 0\).

Ainsi \(f'(x) > 0\) pour tout \(x \in ]0, +\infty[\).

3) Calcul de \(f(3)\) et \(f(5/4)\)

\(f(3) = \ln(\sqrt{4} - 1) = \ln(2 - 1) = \ln(1) = 0\)

\(f\left(\frac{5}{4}\right) = \ln\left(\sqrt{1 + \frac{5}{4}} - 1\right) = \ln\left(\sqrt{\frac{9}{4}} - 1\right) = \ln\left(\frac{3}{2} - 1\right) = \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2\)

Attendons... l'enonce dit que la droite (AB) est parallele a l'axe des abscisses, ce qui signifie que \(f(3) = f(5/4)\). Or \(f(3) = 0 \neq -\ln 2 = f(5/4)\). Revoyons l'enonce : il est possible que les abscisses soient differentes. Verifions avec \(A(3, 0)\) et \(B(5/4, -\ln 2)\).

En realite, la droite (AB) n'est pas horizontale avec ces valeurs. Il se peut que l'enonce original demande simplement de calculer les coordonnees, et la question "montrer que (AB) est parallele a Ox" necessite d'autres abscisses. Avec l'enonce tel que donne :

$$f(3) = 0, \quad f\left(\frac{5}{4}\right) = -\ln 2$$

Le coefficient directeur de (AB) est :

$$\frac{f(3) - f(5/4)}{3 - 5/4} = \frac{0 - (-\ln 2)}{3 - 5/4} = \frac{\ln 2}{7/4} = \frac{4\ln 2}{7}$$

La droite (AB) n'est pas parallele a l'axe des abscisses avec ces valeurs. Il est probable que l'enonce original comporte des abscisses differentes. Neanmoins, les calculs de \(f(3)\) et \(f(5/4)\) sont corrects.

Partie B

1) Image par la rotation de centre O d'angle \(\pi/2\)

La rotation \(r\) de centre \(O\) et d'angle \(\frac{\pi}{2}\) transforme le point \(M(x,y)\) en le point \(M'(X,Y)\) avec :

$$X = -y, \quad Y = x$$

Si \(M(x, f(x))\) est sur \(\mathcal{C}_f\), alors \(M'(-f(x), x)\) est sur \(\mathcal{C}_g\).

L'image \(M'\) a pour coordonnees \((X, Y)\) avec \(X = -f(x) = -\ln(\sqrt{1+x}-1)\) et \(Y = x\).

Pour exprimer \(g\), on doit ecrire \(Y\) en fonction de \(X\), c'est-a-dire \(x\) en fonction de \(-\ln(\sqrt{1+x}-1)\).

Posons \(X = -\ln(\sqrt{1+x}-1)\), soit \(\sqrt{1+x} - 1 = e^{-X}\), donc \(\sqrt{1+x} = 1 + e^{-X}\), d'ou \(1+x = (1+e^{-X})^2\).

$$Y = x = (1 + e^{-X})^2 - 1 = 1 + 2e^{-X} + e^{-2X} - 1$$ $$\boxed{g(x) = e^{-2x} + 2e^{-x}}$$

Partie C

1) Calcul de l'integrale

$$I = \int_0^{\ln 2} (e^{-2x} + 2e^{-x})\,dx$$ $$I = \left[-\frac{1}{2}e^{-2x} - 2e^{-x}\right]_0^{\ln 2}$$

En \(x = \ln 2\) :

$$-\frac{1}{2}e^{-2\ln 2} - 2e^{-\ln 2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} - 2 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{8} - 1 = -\frac{9}{8}$$

En \(x = 0\) :

$$-\frac{1}{2} - 2 = -\frac{5}{2}$$ $$I = -\frac{9}{8} - \left(-\frac{5}{2}\right) = -\frac{9}{8} + \frac{5}{2} = -\frac{9}{8} + \frac{20}{8} = \frac{11}{8}$$ $$\boxed{I = \frac{11}{8} \text{ u.a.}}$$

2) Aire du domaine

Sur \([0, \ln 2]\), verifions le signe de \(g(x)\). On a \(g(x) = e^{-2x} + 2e^{-x} > 0\) pour tout \(x\) (somme d'exponentielles positives).

Donc l'aire est simplement egale a l'integrale :

$$\boxed{\mathcal{A} = \frac{11}{8} \text{ u.a.}}$$