Corrige detaille - Exercice 1

1) Resolution de \(z^2 + 2z + 10 = 0\)

On calcule le discriminant :

$$\Delta = b^2 - 4ac = 4 - 40 = -36$$

Le discriminant est strictement negatif, donc l'equation admet deux solutions complexes conjuguees.

$$\Delta < 0, \quad \sqrt{\Delta} = i\sqrt{36} = 6i$$ $$z_1 = \frac{-2 + 6i}{2} = -1 + 3i, \quad z_2 = \frac{-2 - 6i}{2} = -1 - 3i$$ $$\boxed{S = \{-1 + 3i \;;\; -1 - 3i\}}$$

2) Systeme de nombres complexes

On resout le systeme par soustraction. En soustrayant la premiere equation de la deuxieme :

$$(-u + v) - (-2u + v) = (4 + 8i) - (1 + 13i)$$ $$-u + v + 2u - v = 3 - 5i$$ $$u = 3 - 5i$$

On reporte dans la deuxieme equation :

$$-(3 - 5i) + v = 4 + 8i$$ $$v = 4 + 8i + 3 - 5i = 7 + 3i$$ $$\boxed{u = 3 - 5i, \quad v = 7 + 3i}$$

Verification :

• \(-2u + v = -2(3 - 5i) + 7 + 3i = -6 + 10i + 7 + 3i = 1 + 13i\) ✓
• \(-u + v = -(3 - 5i) + 7 + 3i = -3 + 5i + 7 + 3i = 4 + 8i\) ✓

3a) Placement des points

Dans le repere orthonorme \((O; \vec{u}, \vec{v})\) :

• \(A(-1\;;\; 3)\)
• \(B(-1\;;\; -3)\)
• \(C(3\;;\; -5)\)
• \(D(7\;;\; 3)\)

On place chaque point en utilisant son abscisse (partie reelle) et son ordonnee (partie imaginaire).

3b) Triangles rectangles

Triangle BAD rectangle en A :

On calcule les affixes des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\) :

$$\overrightarrow{AB} = z_B - z_A = (-1 - 3i) - (-1 + 3i) = -6i$$ $$\overrightarrow{AD} = z_D - z_A = (7 + 3i) - (-1 + 3i) = 8$$

Pour montrer que le triangle est rectangle en \(A\), il faut montrer que \(\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}\), c'est-a-dire que \(\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}\) est un imaginaire pur.

$$\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A} = \frac{8}{-6i} = \frac{8}{-6i} \times \frac{i}{i} = \frac{8i}{-6i^2} = \frac{8i}{6} = \frac{4i}{3}$$

Ce quotient est un imaginaire pur, donc \(\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}\).

Triangle BCD rectangle en C :

$$\overrightarrow{CB} = z_B - z_C = (-1 - 3i) - (3 - 5i) = -4 + 2i$$ $$\overrightarrow{CD} = z_D - z_C = (7 + 3i) - (3 - 5i) = 4 + 8i$$ $$\frac{z_D - z_C}{z_B - z_C} = \frac{4 + 8i}{-4 + 2i}$$

Multiplions numerateur et denominateur par le conjugue du denominateur :

$$= \frac{(4 + 8i)(-4 - 2i)}{(-4 + 2i)(-4 - 2i)} = \frac{-16 - 8i - 32i - 16i^2}{16 + 4} = \frac{-16 - 40i + 16}{20} = \frac{-40i}{20} = -2i$$

Ce quotient est un imaginaire pur, donc \(\overrightarrow{CB} \perp \overrightarrow{CD}\).

3c) Cercle passant par A, B, C, D

Le triangle \(BAD\) est rectangle en \(A\), donc le segment \([BD]\) est un diametre du cercle circonscrit au triangle \(BAD\) (theoreme de l'angle inscrit dans un demi-cercle).

De meme, le triangle \(BCD\) est rectangle en \(C\), donc le segment \([BD]\) est aussi un diametre du cercle circonscrit au triangle \(BCD\).

Les deux cercles ayant le meme diametre \([BD]\), ils sont confondus. Donc \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sont sur un meme cercle \(\Gamma\) de diametre \([BD]\).

Centre \(I\) : milieu de \([BD]\) :

$$z_I = \frac{z_B + z_D}{2} = \frac{(-1 - 3i) + (7 + 3i)}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Donc \(I(3\;;\; 0)\).

Rayon \(R\) :

$$R = \frac{BD}{2} = \frac{|z_D - z_B|}{2} = \frac{|(7 + 3i) - (-1 - 3i)|}{2} = \frac{|8 + 6i|}{2} = \frac{\sqrt{64 + 36}}{2} = \frac{\sqrt{100}}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$\boxed{I(3\;;\; 0), \quad R = 5}$$

Verification : \(IA = |z_A - z_I| = |(-1+3i) - 3| = |-4 + 3i| = \sqrt{16+9} = 5\) ✓

\(IC = |z_C - z_I| = |(3-5i) - 3| = |-5i| = 5\) ✓

4) Points \(C'\) et \(D'\) sur le cercle

Les conjugues de \(z_C\) et \(z_D\) sont :

$$\overline{z_C} = 3 + 5i, \quad \overline{z_D} = 7 - 3i$$

On note \(C'(3\;;\; 5)\) et \(D'(7\;;\; -3)\) les images de ces conjugues.

Verification que \(C'\) est sur \(\Gamma\) :

$$IC' = |\overline{z_C} - z_I| = |(3 + 5i) - 3| = |5i| = 5 = R \quad \checkmark$$

Verification que \(D'\) est sur \(\Gamma\) :

$$ID' = |\overline{z_D} - z_I| = |(7 - 3i) - 3| = |4 - 3i| = \sqrt{16 + 9} = 5 = R \quad \checkmark$$ $$\boxed{C' \text{ et } D' \text{ sont sur le cercle } \Gamma}$$

Explication geometrique : Le centre \(I\) est sur l'axe reel (\(z_I = 3\)). La conjugaison est une symetrie par rapport a l'axe reel. Or un cercle de centre situe sur l'axe reel est globalement invariant par cette symetrie. Donc si \(C\) est sur \(\Gamma\), son conjugue \(C'\) l'est aussi, et de meme pour \(D\) et \(D'\).

Corrige detaille - Exercice 2

1) Demonstration par recurrence : \(u_n - 1 > 0\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\)

Initialisation (\(n = 0\)) :

$$u_0 - 1 = 5 - 1 = 4 > 0 \quad \checkmark$$

Heredite : Supposons que \(u_n - 1 > 0\) pour un certain \(n \in \mathbb{N}\), c'est-a-dire \(u_n > 1\). Montrons que \(u_{n+1} - 1 > 0\).

$$u_{n+1} - 1 = \frac{4u_n - 1}{u_n + 2} - 1 = \frac{4u_n - 1 - (u_n + 2)}{u_n + 2} = \frac{3u_n - 3}{u_n + 2} = \frac{3(u_n - 1)}{u_n + 2}$$

Analysons le signe de cette expression :

• Par hypothese de recurrence : \(u_n - 1 > 0\), donc \(3(u_n - 1) > 0\).
• Comme \(u_n > 1 > 0\), on a \(u_n + 2 > 0\).

Le quotient de deux nombres strictement positifs est strictement positif, donc :

$$u_{n+1} - 1 = \frac{3(u_n - 1)}{u_n + 2} > 0$$

Conclusion : La propriete est vraie au rang 0, et si elle est vraie au rang \(n\), elle est vraie au rang \(n+1\).

2a) \((v_n)\) est arithmetique de raison \(\frac{1}{3}\)

On pose \(v_n = \frac{1}{u_n - 1}\). Cette definition a bien un sens car \(u_n - 1 > 0\) d'apres la question 1.

Calculons \(v_{n+1} - v_n\) :

$$v_{n+1} = \frac{1}{u_{n+1} - 1} = \frac{1}{\frac{3(u_n - 1)}{u_n + 2}} = \frac{u_n + 2}{3(u_n - 1)}$$

On a utilise le resultat \(u_{n+1} - 1 = \frac{3(u_n - 1)}{u_n + 2}\) obtenu lors de la recurrence.

$$v_{n+1} - v_n = \frac{u_n + 2}{3(u_n - 1)} - \frac{1}{u_n - 1} = \frac{u_n + 2 - 3}{3(u_n - 1)} = \frac{u_n - 1}{3(u_n - 1)} = \frac{1}{3}$$ $$\boxed{v_{n+1} - v_n = \frac{1}{3} \text{ : la suite } (v_n) \text{ est arithmetique de raison } r = \frac{1}{3}}$$

2b) Expressions de \(v_n\) et \(u_n\) en fonction de \(n\)

Expression de \(v_n\) :

\((v_n)\) est arithmetique de raison \(\frac{1}{3}\) et de premier terme :

$$v_0 = \frac{1}{u_0 - 1} = \frac{1}{5 - 1} = \frac{1}{4}$$

Donc, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :

$$v_n = v_0 + nr = \frac{1}{4} + \frac{n}{3} = \frac{3 + 4n}{12}$$ $$\boxed{v_n = \frac{3 + 4n}{12}}$$

Expression de \(u_n\) :

Comme \(v_n = \frac{1}{u_n - 1}\), on a \(u_n - 1 = \frac{1}{v_n}\), soit :

$$u_n = 1 + \frac{1}{v_n} = 1 + \frac{12}{3 + 4n} = \frac{3 + 4n + 12}{3 + 4n} = \frac{15 + 4n}{3 + 4n}$$ $$\boxed{u_n = \frac{4n + 15}{4n + 3}}$$

Verification :

• \(u_0 = \frac{15}{3} = 5\) ✓
• \(u_1 = \frac{19}{7}\). Verifions : \(u_1 = \frac{4 \times 5 - 1}{5 + 2} = \frac{19}{7}\) ✓

2c) Limite de \((u_n)\)

$$u_n = \frac{4n + 15}{4n + 3} = \frac{4 + \frac{15}{n}}{4 + \frac{3}{n}}$$

Quand \(n \to +\infty\), \(\frac{15}{n} \to 0\) et \(\frac{3}{n} \to 0\), donc :

$$\boxed{\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{4}{4} = 1}$$

Interpretation : La suite \((u_n)\) converge vers 1, ce qui est coherent avec le fait que \(u_n > 1\) pour tout \(n\) (elle tend vers 1 par valeurs superieures). On peut verifier que 1 est bien le point fixe de la relation de recurrence : si \(\ell = \frac{4\ell - 1}{\ell + 2}\), alors \(\ell^2 + 2\ell = 4\ell - 1\), soit \(\ell^2 - 2\ell + 1 = 0\), d'ou \((\ell - 1)^2 = 0\), donc \(\ell = 1\).

Corrige detaille - Probleme

Partie A : Etude de la fonction

1a) Limite de \(f(x)\) quand \(x \to -\infty\)

On utilise la croissance comparee : l'exponentielle l'emporte sur tout polynome quand \(x \to -\infty\).

$$f(x) = (x^2 - 3x + 1)e^x$$

Quand \(x \to -\infty\) : \(x^2 - 3x + 1 \to +\infty\) et \(e^x \to 0\).

C'est une forme indeterminee "\(+\infty \times 0\)". On leve l'indetermination :

$$f(x) = x^2 e^x - 3xe^x + e^x$$

Or, par les croissances comparees :

• \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^2 e^x = 0\) (car en posant \(X = -x \to +\infty\), on a \(x^2 e^x = X^2 e^{-X} = \frac{X^2}{e^X} \to 0\))
• \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} xe^x = 0\) (meme raisonnement)
• \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x = 0\)

$$\boxed{\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0}$$

1b) Asymptote et position

Puisque \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\), la droite \(y = 0\) (l'axe des abscisses) est asymptote horizontale a \(\mathcal{C}\) en \(-\infty\).

Position de \(\mathcal{C}\) par rapport a l'asymptote :

On etudie le signe de \(f(x) - 0 = f(x)\) au voisinage de \(-\infty\).

Pour \(x\) grand en valeur absolue et negatif : \(e^x > 0\) et \(x^2 - 3x + 1 > 0\) (car \(x^2\) domine). Donc \(f(x) > 0\).

1c) Limite de \(f(x)\) quand \(x \to +\infty\)

Quand \(x \to +\infty\) : \(x^2 - 3x + 1 \to +\infty\) et \(e^x \to +\infty\), donc :

$$\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty}$$

2a) Calcul de \(f'(x)\)

On utilise la formule de derivation d'un produit : \((uv)' = u'v + uv'\).

Posons \(u(x) = x^2 - 3x + 1\) et \(v(x) = e^x\).

• \(u'(x) = 2x - 3\)
• \(v'(x) = e^x\)

$$f'(x) = (2x - 3)e^x + (x^2 - 3x + 1)e^x = \left[(2x - 3) + (x^2 - 3x + 1)\right]e^x$$ $$f'(x) = (x^2 - 3x + 2x + 1 - 3)e^x = (x^2 - x - 2)e^x$$ $$\boxed{f'(x) = (x^2 - x - 2)e^x}$$

2b) Resolution de \(f'(x) = 0\)

Comme \(e^x > 0\) pour tout \(x\), on a \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 - x - 2 = 0\).

$$\Delta = 1 + 8 = 9, \quad \sqrt{\Delta} = 3$$ $$x_1 = \frac{1 - 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$$ $$\boxed{f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1 \text{ ou } x = 2}$$

Factorisation : \(f'(x) = (x + 1)(x - 2)e^x\).

2c) Tableau de variation

Le signe de \(f'(x)\) est celui de \((x+1)(x-2)\) car \(e^x > 0\) :

• Pour \(x < -1\) : \((x+1) < 0\) et \((x-2) < 0\), donc \(f'(x) > 0\) : \(f\) croissante.
• Pour \(-1 < x < 2\) : \((x+1) > 0\) et \((x-2) < 0\), donc \(f'(x) < 0\) : \(f\) decroissante.
• Pour \(x > 2\) : \((x+1) > 0\) et \((x-2) > 0\), donc \(f'(x) > 0\) : \(f\) croissante.

Valeurs aux extremums :

$$f(-1) = (1 + 3 + 1)e^{-1} = \frac{5}{e}$$ $$f(2) = (4 - 6 + 1)e^2 = -e^2$$

\(x\)	\(-\infty\)		\(-1\)		\(2\)		\(+\infty\)
\(f'(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	\(0\)	\(\nearrow\)	\(\frac{5}{e}\)	\(\searrow\)	\(-e^2\)	\(\nearrow\)	\(+\infty\)

2d) Extremums de \(f\)

3) Points d'intersection avec les axes

Intersection avec l'axe des ordonnees (\(x = 0\)) :

$$f(0) = (0 - 0 + 1)e^0 = 1$$

Point : \((0\;;\; 1)\).

Intersection avec l'axe des abscisses (\(f(x) = 0\)) :

Comme \(e^x > 0\) pour tout \(x\), on a \(f(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 - 3x + 1 = 0\).

$$\Delta = 9 - 4 = 5$$ $$x_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx 0{,}38, \quad x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx 2{,}62$$

4) Tangente \(T\) en \(x = 0\)

L'equation de la tangente en \(x = 0\) est : \(T : y = f'(0)(x - 0) + f(0)\).

$$f(0) = 1, \quad f'(0) = (0 - 0 - 2)e^0 = -2$$ $$\boxed{T : y = -2x + 1}$$

Le coefficient directeur de \(T\) est \(-2\).

5) Construction

Points remarquables pour la construction :

• Asymptote horizontale \(y = 0\) en \(-\infty\), courbe au-dessus
• Maximum local : \((-1\;;\; \frac{5}{e}) \approx (-1\;;\; 1{,}84)\)
• Point \((0\;;\; 1)\) avec tangente de pente \(-2\)
• Zeros : \(x \approx 0{,}38\) et \(x \approx 2{,}62\)
• Minimum local : \((2\;;\; -e^2) \approx (2\;;\; -7{,}39)\)
• Croissance vers \(+\infty\) apres \(x = 2\)

Partie B : Equation differentielle et primitives

1) Verification que \(f\) est solution de \(y'' - 2y' + y = 2e^x\)

On a deja \(f'(x) = (x^2 - x - 2)e^x\). Calculons \(f''(x)\) :

$$f''(x) = (2x - 1)e^x + (x^2 - x - 2)e^x = (x^2 - x - 2 + 2x - 1)e^x = (x^2 + x - 3)e^x$$

Calculons \(f''(x) - 2f'(x) + f(x)\) :

$$= (x^2 + x - 3)e^x - 2(x^2 - x - 2)e^x + (x^2 - 3x + 1)e^x$$ $$= \left[(x^2 + x - 3) - 2(x^2 - x - 2) + (x^2 - 3x + 1)\right]e^x$$ $$= \left[x^2 + x - 3 - 2x^2 + 2x + 4 + x^2 - 3x + 1\right]e^x$$ $$= \left[(1 - 2 + 1)x^2 + (1 + 2 - 3)x + (-3 + 4 + 1)\right]e^x$$ $$= [0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 2]e^x = 2e^x$$ $$\boxed{f''(x) - 2f'(x) + f(x) = 2e^x \quad \checkmark}$$

2a) \(F\) est une primitive de \(f\)

On doit montrer que \(F'(x) = f(x)\), ou \(F(x) = 2e^x + 2f(x) - f'(x)\).

$$F'(x) = 2e^x + 2f'(x) - f''(x)$$

Reorganisons : on sait que \(f''(x) - 2f'(x) + f(x) = 2e^x\), donc \(2e^x = f''(x) - 2f'(x) + f(x)\).

$$F'(x) = 2e^x + 2f'(x) - f''(x) = f''(x) - 2f'(x) + f(x) + 2f'(x) - f''(x) = f(x)$$ $$\boxed{F'(x) = f(x) \text{ : } F \text{ est bien une primitive de } f}$$

2b) Expression explicite de \(F(x)\)

$$F(x) = 2e^x + 2f(x) - f'(x)$$ $$= 2e^x + 2(x^2 - 3x + 1)e^x - (x^2 - x - 2)e^x$$ $$= \left[2 + 2x^2 - 6x + 2 - x^2 + x + 2\right]e^x$$ $$= (x^2 - 5x + 6)e^x$$

Factorisons : \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).

$$\boxed{F(x) = (x^2 - 5x + 6)e^x = (x-2)(x-3)e^x}$$

Verification : Derivons \(F(x) = (x^2 - 5x + 6)e^x\) :

$$F'(x) = (2x - 5)e^x + (x^2 - 5x + 6)e^x = (x^2 - 5x + 6 + 2x - 5)e^x = (x^2 - 3x + 1)e^x = f(x) \quad \checkmark$$

3a) Calcul de l'aire \(\mathcal{A}(\alpha)\)

Pour \(\alpha \leq 0\), on doit calculer l'aire du domaine defini par \(\alpha \leq x \leq 0\) et \(0 \leq y \leq f(x)\).

Verifions que \(f(x) \geq 0\) sur \([\alpha, 0]\) pour \(\alpha \leq 0\).

Les zeros de \(f\) sont \(x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\), soit \(x \approx 0{,}38\) et \(x \approx 2{,}62\). Pour \(x \leq 0\), \(f(x) > 0\) (on l'a vu : \(x^2 - 3x + 1 > 0\) pour \(x < \frac{3-\sqrt{5}}{2}\), et \(e^x > 0\)).

Donc pour \(\alpha \leq 0\) :

$$\mathcal{A}(\alpha) = \int_{\alpha}^{0} f(x)\,dx = F(0) - F(\alpha)$$

Calculons \(F(0)\) :

$$F(0) = (0 - 0 + 6)e^0 = 6$$

Calculons \(F(\alpha)\) :

$$F(\alpha) = (\alpha^2 - 5\alpha + 6)e^{\alpha}$$ $$\boxed{\mathcal{A}(\alpha) = 6 - (\alpha^2 - 5\alpha + 6)e^{\alpha}}$$

3b) Limite de \(\mathcal{A}(\alpha)\) quand \(\alpha \to -\infty\)

On doit calculer \(\displaystyle\lim_{\alpha \to -\infty} (\alpha^2 - 5\alpha + 6)e^{\alpha}\).

Par les croissances comparees (l'exponentielle l'emporte sur le polynome) :

$$\lim_{\alpha \to -\infty} \alpha^2 e^{\alpha} = 0, \quad \lim_{\alpha \to -\infty} \alpha e^{\alpha} = 0, \quad \lim_{\alpha \to -\infty} e^{\alpha} = 0$$

Donc \(\displaystyle\lim_{\alpha \to -\infty} (\alpha^2 - 5\alpha + 6)e^{\alpha} = 0\).

$$\boxed{\lim_{\alpha \to -\infty} \mathcal{A}(\alpha) = 6 - 0 = 6 \text{ u.a.}}$$